ax² + bx + c = 0

En mathématiques, une équation du second degré, ou équation quadratique, est une équation polynomiale de degré 2, c'est-à-dire qu'elle peut s'écrire sous la forme :
ax² + bx + c = 0

Définition

Dans cette équation, x est l'inconnue les lettres a, b et c représentent les coefficients, avec a différent de 0. a est le coefficient quadratique, b est le coefficient linéaire, et c est un terme constant où le polynome est défini sur ℝ.

Dans l'ensemble des nombres réels, une telle équation admet au maximum deux solutions, qui correspondent aux abscisses des éventuels points d'intersection de la parabole d'équation y = ax² + bx + c avec l'axe des abscisses dans le plan muni d'un repère cartésien. La position de cette parabole par rapport à l'axe des abscisses, et donc le nombre de solutions (0, 1 ou 2) est donnée par le signe du discriminant. Ce dernier permet également d'exprimer facilement les solutions, qui sont aussi les racines de la fonction du second degré associée.

Historique

Les équations du second degré sont au centre de l'algèbre babylonienne, dès avant le xviii^e siècle av. J.-C. La tablette d'argile BM 13901 a été qualifiée de « véritable petit manuel d'algèbre, consacré à l'équation du second degré et aux systèmes d'équations, et donnant les procédures résolutoires fondamentales ».

Au viii^e siècle, le mathématicien indien Sridhar Acharya indique la manière de calculer les deux racines réelles.

Les équations du second degré ont été étudiées systématiquement par Al-Khwarizmi au ix^e siècle, dans un ouvrage intitulé Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison qui, via le mot « restauration » (en arabe : al-jabr) a donné son nom à l'algèbre. Al-Khawarizmi distingue six cas d'équations du premier ou second degré dans lesquels les paramètres a, b et c sont tous positifs :

1. Les carrés égalent les racines : ax² = bx

1. Les carrés égalent les nombres : ax² = c

1. Les racines égalent les nombres : bx = c

1. Les carrés et les racines égalent les nombres : ax² + bx = c

1. Les carrés et les nombres égalent les racines : ax² + c = bx

1. Les racines et les nombres égalent les carrés : ax² = bx + c

Il démontre les méthodes de résolution en suivant des raisonnements d'algèbre géométrique.

Pour en savoir plus sur les équations du second degré 🔀