En mathématiques, l’intégration ou calcul intégral est l’une des deux branches du calcul infinitésimal, l’autre étant le calcul différentiel.
Les intégrales sont utilisées dans de multiples disciplines scientifiques notamment en physique pour des opérations de mesure de grandeurs (longueur d’une courbe, aire, volume, flux) ou en probabilités. Ses utilités pluridisciplinaires en font un outil scientifique fondamental1. C’est la raison pour laquelle l’intégration est souvent abordée dès l’enseignement secondaire.
Le concept d’intégrale a été raffiné depuis son introduction au xviie siècle par Leibniz et Newton, permettant ainsi de les calculer pour des fonctions de moins en moins régulières.
Le symbole mathématique représentant l’intégration, le « S long » : ∫, est appelé signe somme, signe d’intégration, signe intégral ou intégrateur ; il a été introduit par Leibniz pour noter l’intégrale.
Dans un plan muni d’un repère cartésien, on choisit comme unité d’aire, l’aire du quadrilatère OIKJ où O est l’origine du repère et I, J et K les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (0 ; 1) et (1 ; 1).
Si f est une fonction réelle positive continue prenant ses valeurs dans un segment I = [a, b], alors l’intégrale de f sur I, notée
est l’aire d’une surface délimitée par la représentation graphique de f et par les trois droites d’équation x = a, x = b, y = 0, surface notée Sf. (Voir schéma ci-contre pour l’intervalle I = [0, a].)
L’intégrale de la fonction positive f, peut être interprétée comme l’aire du domaine délimité par : (1) la courbe représentative de la fonction f (d’équation ), (2) l’axe des abscisses et (3-4) les droites verticales d’abscisses a et b.