xn+1 = 𝑟xn (1 – xn)
La notion de chaos renvoie à un concept qui remonte à l’Antiquité, dans la perspective d’une explication du monde reposant sur le principe de l’harmonie et du cosmos. C’est un concept de philosophie avant d’être un concept des mathématiques.
La théorie du chaos est une théorie scientifique rattachée aux mathématiques et à la physique qui étudie le comportement des systèmes dynamiques sensibles aux conditions initiales, un phénomène généralement illustré par l’effet papillon.
Dans de nombreux systèmes dynamiques, des modifications infimes des conditions initiales entraînent des évolutions rapidement divergentes, rendant toute prédiction impossible à long terme. Bien que ce soient des systèmes déterministes, dont le comportement futur est déterminé par les conditions initiales, sans aucune intervention du hasard, ils sont imprévisibles (au moins dans le détail) car on ne peut pas connaître les conditions initiales avec une précision infinie.
Ce comportement paradoxal est connu sous le nom de chaos déterministe, ou tout simplement de chaos.
Le comportement chaotique est à la base de nombreux systèmes naturels, tels que la météo ou le climat. Ce comportement peut être étudié grâce à l’analyse par des modèles mathématiques chaotiques, ou par des techniques analytiques de récurrence et des applications de Poincaré. La théorie du chaos a des applications en météorologie, climatologie, sociologie, physique, informatique, ingénierie, économie, biologie et philosophie.
Définition
Un système dynamique est dit chaotique si une portion « significative » de son espace des phases présente simultanément les deux caractéristiques suivantes :
- le phénomène de sensibilité aux conditions initiales ;
- une forte récurrence.
La présence de ces deux propriétés entraîne un comportement extrêmement désordonné, qualifié à juste titre de « chaotique ». Les systèmes chaotiques s’opposent notamment aux systèmes intégrables de la mécanique classique, qui furent longtemps les symboles d’une régularité toute puissante en physique théorique. La dynamique quasi périodique d’un système intégrable semblait elle-même trouver son illustration parfaite dans les majestueux mouvements des planètes du Système solaire autour du Soleil ; aussi Voltaire, qui incita Émilie du Châtelet à entreprendre la traduction des Philosophiae naturalis principia mathematica de Newton, parlait de Dieu comme du « Grand Horloger »…
La formule
Mitchell Feigenbaum a redécouvert une route vers le chaos qui avait été étudiée dans les années 1960 par Myrberg. Aujourd’hui, cette route est appelée « cascade de doublements de période » pour décrire la transition entre un comportement périodique et un attracteur chaotique. Ce scénario est observé par exemple avec la suite logistique, qui est définie par récurrence par une application du segment [0, 1] dans lui-même :
xn+1 = 𝑟xn (1 – xn)
où n = 0, 1, … dénote le temps discret, x l’unique variable dynamique, et 0 ≤ 𝑟 ≤ 4 un paramètre. La dynamique de cette application présente un comportement très différent selon la valeur du paramètre 𝑟 :
- Pour 0 ≤ 𝑟 < 3, le système possède un point fixe attractif, qui devient instable lorsque 𝑟 = 3.
- Pour 3 ≤ 𝑟 < 3,57… < , l’application possède un attracteur qui est une orbite périodique, de période 2𝑛 où n est un entier qui tend vers l’infini lorsque 𝑟 tend vers 3,57…
- Lorsque 𝑟 = 3,57… < , l’application possède un attracteur chaotique fractal découvert par le biologiste May (1976).
- Le cas 𝑟 = 4 avait été étudié dès 1947 par Ulam et von Neumann. À noter qu’on peut dans ce cas précis établir l’expression exacte de la mesure invariante ergodique.
Lorsque le paramètre r augmente, on obtient donc une succession de bifurcations entre les comportements périodiques et le chaos, résumée sur cette figure :
