L’équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation fondamentale en mécanique quantique.
Elle décrit l’évolution dans le temps d’une particule massive non relativiste, et remplit ainsi le même rôle que la relation fondamentale de la dynamique en mécanique classique.
Contexte historique
Au début du xxe siècle, il était devenu clair que la lumière présentait une dualité onde-corpuscule, c’est-à-dire qu’elle pouvait se manifester, selon les circonstances, soit comme une particule, le photon, soit comme une onde électromagnétique. Louis de Broglie proposa de généraliser cette dualité à toutes les particules connues. L’hypothèse de de Broglie eut pour conséquence a priori paradoxale la production d’interférences par les électrons — à l’instar de la lumière — ce qui fut vérifié ultérieurement par l’expérience de Davisson-Germer.
Par analogie avec le photon, Louis de Broglie associa ainsi à chaque particule libre d’énergie E et de quantité de mouvement p, une fréquence du rayonnement v, une longueur d’onde λ, la constante de Planck ℎ :
Plus l’énergie est grande, plus la fréquence du rayonnement est élevée et la longueur d’onde petite.
Ainsi, la longueur d’onde λ et le module 𝑣 de la quantité de mouvement* d’une particule sont reliées par une équation simple :
| Ceci donne lieu à la dualité onde-corpuscule, qui confère aux particules des propriétés à la fois ondulatoire ET corpusculaire. Il s’agit de l’hypothèse De Broglie. |
*Une quantité de mouvement est le produit de la masse m par le vecteur vitesse 𝑣 (avec sa superbe flèche au-dessus) d’un corps matériel supposé ponctuel, ou corpusculaire.
Venons-en à l’essentiel : l’équation de Schrödinger… Que représente-elle donc exactement ?
En mécanique quantique, l’état à l’instant t d’un système est décrit par un élément | Ψ (t) ⟩ de l’espace complexe de Hilbert — avec l’utilisation de la notation bra-ket de Paul Dirac (incroyable génie au passage).
Le carré du module de | Ψ (t) ⟩ représente les densités de probabilités de résultats de toutes les mesures possibles d’un système.
Et c’est l’évolution temporelle de | Ψ (t) ⟩ qui est décrite par l’équation de Schrödinger… Admirons 💓 :
où :
i est l’unité imaginaire i² = -1
ℏ est la constante de Planck réduite (constante de Dirac) : ħ = h / 2π où la constante de Planck ( ℎ = 6,626 070 15 × 10−34 m2 kg s−1 ) ;
Ĥ est l’hamiltonien, dépendant du temps en général, l’observable correspondant habituellement à l’énergie totale du système.
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Nous noterons par ailleurs l’importance et la beauté absolue de la constante de Planck h et ce qu’elle représente à l’échelle atomique et subatomique. Elle vaut très exactement 6,626 070 15 × 10−34 J s. Elle a joué un rôle primordial dans le modèle de l’atome d’hydrogène, proposé en 1913 et connu à présent sous le nom de modèle de Bohr afin d’expliquer la présence des raies spectrales qui traduisent le fait que les fréquences du mouvement de l’électron autour du noyau central ne sont pas quelconques, et de même que l’énergie correspondante est parfaitement bien déterminée.
Suite à sa découverte, il fut reconnu que d’une manière générale l’action d’un système physique ne pouvait pas prendre n’importe quelle valeur, mais était également quantifiée par un quantum d’action à présent dénommé constante de Planck.
Plus généralement, en 1924, l’hypothèse de De Broglie sur la dualité onde-corpuscule généralise cette relation à une particule quelconque (et non plus uniquement le photon).
C’est notamment pour cette raison que les principes de la physique quantiques ne peuvent s’appliquer aux objets nanoscopiques, les électrons, les photons et les atomes.
La physique classique et quantité, ces deux mondes physiques se supportent depuis tant d’années à l’image d’un vieux couple. Mais sans jamais avoir livrés leurs secrets…
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