i² = -1
Domaine d’application : Amélioration des tables trigonométriques, mécanique quantique
Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s’écrit sous la forme ia avec a réel, i étant l’unité imaginaire. Par exemple, i et −3i sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. L’ensemble des imaginaires purs est donc égal à iℝ (plus d’infos sur les nombres réels 🔀). Les nombres complexes sont une extension des nombres réels.
Le carré d’un nombre imaginaire pur est un nombre réel négatif ou nul, et les racines carrées d’un nombre réel négatif sont des imaginaires purs. Au xvie siècle, les travaux de Cardan et de Raphaël Bombelli ont montré l’intérêt d’utiliser des racines carrées de nombres négatifs dans les calculs. Considérés dans un premier temps comme « imaginaires » ou « inconcevables », ils ont fini par être considérés comme des nombres à part entière au cours du xixe siècle.
Définition
Dans le corps des nombres complexes, on choisit un élément dont le carré vaut −1, que l’on note i. On appelle alors « imaginaires purs » les nombres z de la forme ia où a est un réel. Ce réel a est alors égal à la partie imaginaire de z. Un nombre complexe z est un imaginaire pur si et seulement si l’une des propriétés suivantes est réalisée :
- la partie réelle de z est nulle ;
- z = −z (où z est le conjugué de z) ;
- z est nul ou bien son argument vaut π/2 modulo π ;
- Le nombre iz est un réel ;
- z2 est un nombre réel négatif.
Les racines carrées d’un nombre réel sont soit réelles, quand ce nombre est positif, soit imaginaires pures quand ce nombre est négatif. Les racines carrées du nombre réel négatif −a2 (avec a réel) sont les imaginaires purs ia et −ia.